2024—2026 北京高三一模数学汇编：对数函数

本文整理 2024—2026 年北京高三一模数学试题中的对数函数专题，并附解答。

一、单选题

1.（2026 北京海淀高三一模）

若函数

$$f(x)=\ln\frac{x+a}{x+1}$$

是奇函数，则 $a=$（　）

• A. $-1$
• B. $-\dfrac12$
• C. $0$
• D. $1$

若0在函数定义域内,则由奇函数定义:

$$f(0)=\ln a=0,a=1$$

此时$f(x)\equiv 0$,为常值函数.

但是继续考察函数定义域:

$$x+1\ne 0,x\ne-1\\ I=(-\infty,-1)\cup(-1,+\infty)$$

不符合定义域对称的条件.

若0不在函数定义域中，则$a\ne1$:

$$\frac{x+a}{x+1}\gt0\\ \Longleftrightarrow (x+a)(x+1)\gt 0\\ x\in(-\infty,\min\{-a,-1\})\cup(\max\{-a,-1\},+\infty)$$

奇函数要求函数定义域对称,则$(-a)+(-1)=0,a=-1$.

检验结果:

$$f(x)+f(-x)\\ =\ln \frac{x-1}{x+1}+\ln \frac{-x-1}{-x+1}\\ =\ln \frac{x-1}{x-1}=0$$

反思:在一开始就讨论定义域,可以加快解题速度

正确答案：A

2.（2026 北京昌平高三一模）

下列函数中，在区间 $(-\infty,0)$上单调递减的是（　）

• A. $f(x)=-\dfrac1x$
• B. $f(x)=x^2+x$
• C. $f(x)=\log_2(-x)$
• D. $f(x)=3^{|x+1|}$

正确答案：C

3.（2026 北京朝阳高三一模）

某深度学习框架提供了一种自然指数衰减的学习率调整模型

$$L(k)=L_0e^{-r\cdot\frac{k}{S}}$$

（$L_0\in(0,1)$，$r\in(0,1)$，$S\in\mathbb N^*$，$k\in\mathbb N^*$），其中 $L_0$为初始学习率，$r$为衰减率，$S$为衰减步长，$k$为训练步数，$L(k)$为第 $k$步时的学习率。

现有两种学习率衰减策略 $A$和 $B$，初始学习率 $L_0$相同，策略 $A$的参数为 $r_A=0.9$，$S_A=100$，策略 $B$的参数为 $r_B=0.95$，$S_B=50$。已知当训练步数为 $k_1$时，策略 $A$的学习率首次大于策略 $B$的学习率的 $2$倍；当训练步数为 $k_2$时，策略 $A$的学习率首次大于策略 $B$的学习率的 $8$倍，则（　）（参考数据：$0.6931<\ln2<0.6932$）

• A. $k_2=3k_1-2$
• B. $k_2=3k_1-1$
• C. $k_2=3k_1$
• D. $k_2=3k_1+1$

考察不等式:

$$e^{-0.009k}\gt2e^{-0.019k}\\ -0.009k\ge \ln2 -0.019k\\ 0.01k\gt \ln2\\ k\gt 100\ln2\in(69.31,69.32)\\ k_1=70\\ e^{-0.009k}\gt8e^{-0.019k}\\ 0.01k\gt\ln8=3\ln2\\ k\gt 300\ln2\in(207.93,207.96)\\ k_2=208\\ k_2=3k_1-2$$

正确答案：A

4.（2026 北京石景山高三一模）

设 $a=\log_{0.3}0.2$，$b=\log_2 0.2$，则（　）

• A. $a+b<0<ab$
• B. $ab<0<a+b$
• C. $a+b<ab<0$
• D. $ab<a+b<0$

先比较$a,b$和0的大小关系:

$$a\gt \log_{0.3}1=0\\ b\lt \log_21=0\\ ab\lt0$$

注意到对数的真数相同,那么对对数取倒数可以让底数变为相同的真数:

$$\frac1a+\frac1b=\log_{0.2}0.3+\log_{0.2}2\\ =\log_{0.2}0.6\in(0,1)\\ \frac{a+b}{ab}\in(0,1),ab\lt0\\ \therefore ab\lt a+b\lt0$$

启示:

• 当代数式有明确的代数关系时,优先挖掘代数关系
• 在对数的底数小于1时,换底公式后应注意分母的符号

正确答案：D

5.（2025 北京东城高三一模）

已知 $x>1$，$y>1$，则“$4^x>2^y$”是“$\log_2x>\log_4(y-1)$”的（　）

• A. 充分不必要条件
• B. 必要不充分条件
• C. 充要条件
• D. 既不充分也不必要条件

考虑条件对应的等价条件:

$$4^x=2^{2x}\gt2^y\\ \Longleftrightarrow 2x\gt y\\ \log_2x>\log_4(y-1)\\ \Longleftrightarrow \log_2x>\frac12\log_2(y-1)\\ \Longleftrightarrow \log_2x^2>\log_2(y-1)\\ \Longleftrightarrow x^2>y-1\\ \Longleftrightarrow x^2+1>y$$

若$2x\gt y$,有$x^2+1\gt 2x\gt y$. 反之,若$x^2+1\gt y$,可以尝试寻找反例:

$$x^2+1\gt y,y=2x\\ x^2+1\gt 2x$$

取任意$x=k,y=2k,k\in(1,+\infty)$都可以作为反例.

正确答案：A

6.（2025 北京海淀高三一模）

已知四个数

$$a=\frac{\lg2+\lg5}{2},\qquad b=\sqrt{\lg2\cdot\lg5},\qquad c=\lg2,\qquad d=\lg5,$$

其中最小的是（　）

• A. $a$
• B. $b$
• C. $c$
• D. $d$

正确答案：C

7.（2025 北京西城高三一模）

下列函数中，图像关于 $y$轴对称的是（　）

• A. $y=(x-1)^2$
• B. $y=2^x$
• C. $y=x^4+x^2$
• D. $y=|\ln x|$

正确答案：C

8.（2025 北京房山高三一模）

已知 $a,b\in\mathbb R$，且 $a<b$，则（　）

• A. $\dfrac1a>\dfrac1b$
• B. $a^2<b^2$
• C. $a^3<b^3$
• D. $\ln(b-a)>0$

正确答案：C

9.（2025 北京顺义高三一模）

下列函数中，单调递增且值域为 $[0,+\infty)$的是（　）

• A. $y=x^2$
• B. $y=\sqrt{x+1}$
• C. $y=3^{x-1}$
• D. $y=\log_2x$

正确答案：B

10.（2025 北京平谷高三一模）

下列函数中，在区间 $(1,+\infty)$上单调递增的是（　）

• A. $y=|x-2|$
• B. $y=2^{-x}$
• C. $y=\dfrac1{1-x}$
• D. $y=-\ln x$

正确答案：C

11.（2024 北京门头沟高三一模）

设 $a>0$，$b>0$，则“$\lg(a+b)>0$”是“$\lg(ab)>0$”的（　）

• A. 充分不必要条件
• B. 必要不充分条件
• C. 充要条件
• D. 既不充分也不必要条件

我们仍然分别寻找等价条件:

$$\lg(a+b)\gt0\\ \Longleftrightarrow a+b\gt 1\\ \lg(ab)\gt0\\ \Longleftrightarrow ab\gt 1$$

当$ab\gt 1$时,显然有$a+b\gt 2\sqrt{ab}\gt 2\gt1$.

反之,当$a+b\gt 1$,可寻找反例使得$ab=1$$$a=2,b=\frac12$$

正确答案：B

12.（2024 北京东城高三一模）

设函数 $f(x)=\dfrac1{\ln x}+1$，则（　）

• A. $f(x)+f\!\left(\dfrac1x\right)=2$
• B. $f(x)-f\!\left(\dfrac1x\right)=2$
• C. $f(x)f\!\left(\dfrac1x\right)=2$
• D. $f(x)=2f\!\left(\dfrac1x\right)$

注意到:$y=\frac1{\ln x}$为"倒反函数" $$f(x)+f(\frac1x)=2$$正确答案：A

13.（2024 北京东城高三一模）

已知 $a,b\in\mathbb R$，$ab\ne0$，且 $a<b$，则（　）

• A. $\dfrac1a>\dfrac1b$
• B. $ab<b^2$
• C. $a^3<b^3$
• D. $\lg|a|<\lg|b|$

正确答案：C

14.（2024 北京延庆高三一模）

设 $a=\log_3 2$，$b=\log_9 6$，$c=\dfrac12$，则（　）

• A. $a>b>c$
• B. $c>b>a$
• C. $b>c>a$
• D. $b>a>c$

$$a\gt \log_3\sqrt3=\frac12=c\\ b\gt \log_93=\frac12=c\\ a=\log_94\lt\log_96=b\\ \therefore c\lt a\lt b$$

正确答案：D

二、填空题

15.（2026 北京丰台高三一模）

函数 $f(x)=\sqrt{\log_2x-1}$的定义域为 ________。

$$\log_2x-1\ge0\\ x\gt0$$

分别对应范围:

$$x\ge2,x\gt0$$

正确答案：$[2,+\infty)$

16.（2026 北京顺义高三一模）

函数 $f(x)=\sqrt{1-\log_2x}$的定义域为 ________。

$$x\gt0,1-\log_2x\ge0\\ x\gt0,x\le2$$

正确答案：$(0,2]$

17.（2025 北京海淀高三一模）

已知函数

$$f(x)= \begin{cases} 2-x^2, & x\le1,\\ \log_a\!\left(\dfrac12ax+3\right), & x>1 \end{cases} \qquad(a>0\text{ 且 }a\ne1).$$

若 $f(x)$的值域为 $(-\infty,2]$，则 $a$的一个取值为 ________；若 $f(x)$的值域为 $\mathbb R$，则 $a$的取值范围是 ____。

因为$a\gt0$,所以对数函数的内层函数$t=\frac12ax+3$单调递增且无上界. 如果$a\gt1$,则$log_a(\frac12ax+3)$在$x\to +\infty$时无上界.

所以对于第一个空,$a\lt1$,则$y=\log_a(\frac12ax+3)$关于$x$单调递减. 又$x\le1$时,$f(x)\in(-\infty,2]$,所以要求$x\to 1^+,f(x)\le2$,也就是:

$$\log_a(\frac12a+3)\le2\\ \frac12a+3\ge a^2$$

那么,易知$a\in(0,1)$都是合适的. 取$a=\frac12$.

若$f(x)$值域为$\R$,则$a\gt1$,且要确保$x\to 1^+,f(x)\le 2$:

$$\log_a(\frac12a+3)\le2\\ \frac12a+3\le a^2\\ (2a+3)(a-2)\ge0\\ a\in[2,+\infty)$$

正确答案：$\dfrac12$；$[2,+\infty)$

18.（2025 北京房山高三一模）

已知函数

$$f(x)= \begin{cases} 2^x, & x<1,\\ \log_2(x+7), & x\ge1, \end{cases}$$

则 $f(0)+f(1)=$________。

$$f(0)=2^0=1\\ f(1)=\log_2(1+7)=\log_28=3\\ f(0)+f(1)=4$$

正确答案：$4$

19.（2025 北京朝阳高三一模）

函数 $f(x)=\dfrac1{\sqrt{1-x}}+\log_3x$的定义域为 ________。

$$1-x\gt0,x\gt0\\ x\in(0,1)$$

正确答案：$(0,1)$