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title: "2024—2026 北京高三一模数学汇编：对数函数"
date: "2026-08-16"
summary: "整理 2024—2026 年北京高三一模数学试题中的对数函数专题，共 19 道单选题与填空题，并附解答。"
tags: ["数学", "北京高考", "一模", "对数函数"]
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本文整理 2024—2026 年北京高三一模数学试题中的对数函数专题，并附解答。

## 一、单选题

### 1.（2026 北京海淀高三一模）

若函数

$$
f(x)=\ln\frac{x+a}{x+1}
$$

是奇函数，则 $a=$（　）

- A. $-1$
- B. $-\dfrac12$
- C. $0$
- D. $1$

若0在函数定义域内,则由奇函数定义:

$$f(0)=\ln a=0,a=1$$

此时$f(x)\equiv 0$,为常值函数.

但是继续考察函数定义域:

$$x+1\ne 0,x\ne-1\\
I=(-\infty,-1)\cup(-1,+\infty)$$

不符合定义域对称的条件.

若0不在函数定义域中，则$a\ne1$:

$$\frac{x+a}{x+1}\gt0\\
\Longleftrightarrow (x+a)(x+1)\gt 0\\
x\in(-\infty,\min\{-a,-1\})\cup(\max\{-a,-1\},+\infty)$$

奇函数要求函数定义域对称,则$(-a)+(-1)=0,a=-1$.

检验结果:

$$f(x)+f(-x)\\
=\ln \frac{x-1}{x+1}+\ln \frac{-x-1}{-x+1}\\
=\ln \frac{x-1}{x-1}=0$$

反思:在一开始就讨论定义域,可以加快解题速度

正确答案：A

### 2.（2026 北京昌平高三一模）

下列函数中，在区间 $(-\infty,0)$ 上单调递减的是（　）

- A. $f(x)=-\dfrac1x$
- B. $f(x)=x^2+x$
- C. $f(x)=\log_2(-x)$
- D. $f(x)=3^{|x+1|}$

正确答案：C

### 3.（2026 北京朝阳高三一模）

某深度学习框架提供了一种自然指数衰减的学习率调整模型

$$
L(k)=L_0e^{-r\cdot\frac{k}{S}}
$$

（$L_0\in(0,1)$，$r\in(0,1)$，$S\in\mathbb N^*$，$k\in\mathbb N^*$），其中 $L_0$ 为初始学习率，$r$ 为衰减率，$S$ 为衰减步长，$k$ 为训练步数，$L(k)$ 为第 $k$ 步时的学习率。

现有两种学习率衰减策略 $A$ 和 $B$，初始学习率 $L_0$ 相同，策略 $A$ 的参数为 $r_A=0.9$，$S_A=100$，策略 $B$ 的参数为 $r_B=0.95$，$S_B=50$。已知当训练步数为 $k_1$ 时，策略 $A$ 的学习率首次大于策略 $B$ 的学习率的 $2$ 倍；当训练步数为 $k_2$ 时，策略 $A$ 的学习率首次大于策略 $B$ 的学习率的 $8$ 倍，则（　）（参考数据：$0.6931<\ln2<0.6932$）

- A. $k_2=3k_1-2$
- B. $k_2=3k_1-1$
- C. $k_2=3k_1$
- D. $k_2=3k_1+1$

考察不等式:

$$e^{-0.009k}\gt2e^{-0.019k}\\
-0.009k\ge \ln2 -0.019k\\
0.01k\gt \ln2\\
k\gt 100\ln2\in(69.31,69.32)\\
k_1=70\\
e^{-0.009k}\gt8e^{-0.019k}\\
0.01k\gt\ln8=3\ln2\\
k\gt 300\ln2\in(207.93,207.96)\\
k_2=208\\
k_2=3k_1-2$$

正确答案：A

### 4.（2026 北京石景山高三一模）

设 $a=\log_{0.3}0.2$，$b=\log_2 0.2$，则（　）

- A. $a+b<0<ab$
- B. $ab<0<a+b$
- C. $a+b<ab<0$
- D. $ab<a+b<0$

先比较$a,b$和0的大小关系:

$$a\gt \log_{0.3}1=0\\
b\lt \log_21=0\\
ab\lt0$$

注意到对数的真数相同,那么对对数取倒数可以让底数变为相同的真数:

$$\frac1a+\frac1b=\log_{0.2}0.3+\log_{0.2}2\\
=\log_{0.2}0.6\in(0,1)\\
\frac{a+b}{ab}\in(0,1),ab\lt0\\
\therefore ab\lt a+b\lt0$$

启示:

- 当代数式有明确的代数关系时,优先挖掘代数关系
- 在对数的底数小于1时,换底公式后应注意分母的符号

正确答案：D

### 5.（2025 北京东城高三一模）

已知 $x>1$，$y>1$，则“$4^x>2^y$”是“$\log_2x>\log_4(y-1)$”的（　）

- A. 充分不必要条件
- B. 必要不充分条件
- C. 充要条件
- D. 既不充分也不必要条件

考虑条件对应的等价条件:

$$4^x=2^{2x}\gt2^y\\
\Longleftrightarrow 2x\gt y\\
\log_2x>\log_4(y-1)\\
\Longleftrightarrow \log_2x>\frac12\log_2(y-1)\\
\Longleftrightarrow \log_2x^2>\log_2(y-1)\\
\Longleftrightarrow x^2>y-1\\
\Longleftrightarrow x^2+1>y$$

若$2x\gt y$,有$x^2+1\gt 2x\gt y$. 反之,若$x^2+1\gt y$,可以尝试寻找反例:

$$x^2+1\gt y,y=2x\\
x^2+1\gt 2x$$

取任意$x=k,y=2k,k\in(1,+\infty)$都可以作为反例.

正确答案：A

### 6.（2025 北京海淀高三一模）

已知四个数

$$
a=\frac{\lg2+\lg5}{2},\qquad
b=\sqrt{\lg2\cdot\lg5},\qquad
c=\lg2,\qquad
d=\lg5,
$$

其中最小的是（　）

- A. $a$
- B. $b$
- C. $c$
- D. $d$

正确答案：C

### 7.（2025 北京西城高三一模）

下列函数中，图像关于 $y$ 轴对称的是（　）

- A. $y=(x-1)^2$
- B. $y=2^x$
- C. $y=x^4+x^2$
- D. $y=|\ln x|$

正确答案：C

### 8.（2025 北京房山高三一模）

已知 $a,b\in\mathbb R$，且 $a<b$，则（　）

- A. $\dfrac1a>\dfrac1b$
- B. $a^2<b^2$
- C. $a^3<b^3$
- D. $\ln(b-a)>0$

正确答案：C

### 9.（2025 北京顺义高三一模）

下列函数中，单调递增且值域为 $[0,+\infty)$ 的是（　）

- A. $y=x^2$
- B. $y=\sqrt{x+1}$
- C. $y=3^{x-1}$
- D. $y=\log_2x$

正确答案：B

### 10.（2025 北京平谷高三一模）

下列函数中，在区间 $(1,+\infty)$ 上单调递增的是（　）

- A. $y=|x-2|$
- B. $y=2^{-x}$
- C. $y=\dfrac1{1-x}$
- D. $y=-\ln x$

正确答案：C

### 11.（2024 北京门头沟高三一模）

设 $a>0$，$b>0$，则“$\lg(a+b)>0$”是“$\lg(ab)>0$”的（　）

- A. 充分不必要条件
- B. 必要不充分条件
- C. 充要条件
- D. 既不充分也不必要条件

我们仍然分别寻找等价条件:

$$\lg(a+b)\gt0\\
\Longleftrightarrow a+b\gt 1\\
\lg(ab)\gt0\\
\Longleftrightarrow ab\gt 1$$

当$ab\gt 1$时,显然有$a+b\gt 2\sqrt{ab}\gt 2\gt1$.

反之,当$a+b\gt 1$,可寻找反例使得$ab=1$
$$a=2,b=\frac12$$

正确答案：B

### 12.（2024 北京东城高三一模）

设函数 $f(x)=\dfrac1{\ln x}+1$，则（　）

- A. $f(x)+f\!\left(\dfrac1x\right)=2$
- B. $f(x)-f\!\left(\dfrac1x\right)=2$
- C. $f(x)f\!\left(\dfrac1x\right)=2$
- D. $f(x)=2f\!\left(\dfrac1x\right)$

注意到:$y=\frac1{\ln x}$为"倒反函数"

$f(x)+f(\frac1x)=2$

正确答案：A

### 13.（2024 北京东城高三一模）

已知 $a,b\in\mathbb R$，$ab\ne0$，且 $a<b$，则（　）

- A. $\dfrac1a>\dfrac1b$
- B. $ab<b^2$
- C. $a^3<b^3$
- D. $\lg|a|<\lg|b|$

正确答案：C

### 14.（2024 北京延庆高三一模）

设 $a=\log_3 2$，$b=\log_9 6$，$c=\dfrac12$，则（　）

- A. $a>b>c$
- B. $c>b>a$
- C. $b>c>a$
- D. $b>a>c$

$$a\gt \log_3\sqrt3=\frac12=c\\
b\gt \log_93=\frac12=c\\
a=\log_94\lt\log_96=b\\
\therefore c\lt a\lt b$$

正确答案：D

## 二、填空题

### 15.（2026 北京丰台高三一模）

函数 $f(x)=\sqrt{\log_2x-1}$ 的定义域为 ________。

$$\log_2x-1\ge0\\
x\gt0$$

分别对应范围:

$$x\ge2,x\gt0$$

正确答案：$[2,+\infty)$

### 16.（2026 北京顺义高三一模）

函数 $f(x)=\sqrt{1-\log_2x}$ 的定义域为 ________。

$$x\gt0,1-\log_2x\ge0\\
x\gt0,x\le2$$

正确答案：$(0,2]$

### 17.（2025 北京海淀高三一模）

已知函数

$$
f(x)=
\begin{cases}
2-x^2, & x\le1,\\
\log_a\!\left(\dfrac12ax+3\right), & x>1
\end{cases}
\qquad(a>0\text{ 且 }a\ne1).
$$

若 $f(x)$ 的值域为 $(-\infty,2]$，则 $a$ 的一个取值为 ________；若 $f(x)$ 的值域为 $\mathbb R$，则 $a$ 的取值范围是 ____。

因为$a\gt0$,所以对数函数的内层函数$t=\frac12ax+3$单调递增且无上界. 如果$a\gt1$,则$log_a(\frac12ax+3)$在$x\to +\infty$时无上界.

所以对于第一个空,$a\lt1$,则$y=\log_a(\frac12ax+3)$关于$x$单调递减. 又$x\le1$时,$f(x)\in(-\infty,2]$,所以要求$x\to 1^+,f(x)\le2$,也就是:

$$\log_a(\frac12a+3)\le2\\
\frac12a+3\ge a^2$$

那么,易知$a\in(0,1)$都是合适的. 取$a=\frac12$.

若$f(x)$值域为$\R$,则$a\gt1$,且要确保$x\to 1^+,f(x)\le 2$:

$$\log_a(\frac12a+3)\le2\\
\frac12a+3\le a^2\\
(2a+3)(a-2)\ge0\\
a\in[2,+\infty)$$

正确答案：$\dfrac12$；$[2,+\infty)$

### 18.（2025 北京房山高三一模）

已知函数

$$
f(x)=
\begin{cases}
2^x, & x<1,\\
\log_2(x+7), & x\ge1,
\end{cases}
$$

则 $f(0)+f(1)=$ ________。

$$f(0)=2^0=1\\
f(1)=\log_2(1+7)=\log_28=3\\
f(0)+f(1)=4$$

正确答案：$4$

### 19.（2025 北京朝阳高三一模）

函数 $f(x)=\dfrac1{\sqrt{1-x}}+\log_3x$ 的定义域为 ________。

$$1-x\gt0,x\gt0\\
x\in(0,1)$$

正确答案：$(0,1)$