连续项和构成的集合

题目

已知数列 $\{a_n\}$，记集合

$$T=\left\{S(i,j)\mid S(i,j)=a_i+a_{i+1}+\cdots+a_j，\ 1\le i<j，\ i,j\in\mathbb{N}^{*}\right\}。$$

1. 对于数列 $\{a_n\}:1,2,3,4$，写出集合 $T$。
2. 若 $a_n=2n$，是否存在 $i,j\in\mathbb{N}^{*}$，使得 $S(i,j)=1024$？若存在，求出一组符合条件的 $i,j$；若不存在，说明理由。
3. 若 $a_n=2n-2$，把集合 $T$中的元素从小到大排列，得到新数列 $B:b_1,b_2,\ldots,b_m,\ldots$。若 $b_m\le2020$，求 $m$的最大值。

（I） $T=\{3,5,7,6,9,10\}$。

（II）

$$\begin{aligned} S(i,j) &=2\bigl[i+(i+1)+(i+2)+\cdots+(j-1)+j\bigr]\\ &=2\cdot\frac{(j-i+1)(i+j)}{2}\\ &=(i+j)(j-i+1) \end{aligned}$$

不难看出，$i+j$与 $j-i+1$的奇偶性不同，因此必然有：

$$i+j=1,\quad j-i+1=1024,$$

或

$$i+j=1024,\quad j-i+1=1$$

无论上述哪种情况，都与 $j\ge i+1\ge2$矛盾。

（III）

我们照猫画虎，提取（II）中的特征信息：$1024=2^{10}$。

$$\begin{aligned} S(i,j) &=2\bigl[(i-1)+i+(i+1)+\cdots+(j-2)+(j-1)\bigr]\\ &=2\cdot\frac{(i+j-2)(j-i+1)}{2}\\ &=(i+j-2)(j-i+1) \end{aligned}$$

与（II）中的情况相仿，$i+j-2$与 $j-i+1$的奇偶性不同。对于 $S(i,j)=2^n$，必然有：

$$i+j-2=1,\quad j-i+1=2^n,$$

或

$$i+j-2=2^n,\quad j-i+1=1$$

第二种情况与 $j\ge i+1$矛盾，故考虑第一种情况：

$$i+j-2=1\iff j=2,\quad i=1\implies j-i+1=2,\quad 2^n=2,\quad n=1$$

因此，在所有 $2^n$型数中，$S(i,j)$仅能表示 $2$。

接下来，我们进一步探讨：$S(i,j)$能表示什么类型的数？

由于 $i+j-2$与 $j-i+1$中必有一个偶数，因此 $S(i,j)$也是偶数。

每个正偶数都可以唯一表示为 $k\cdot2^n$，其中 $n\in\mathbb{N}^{*}$，$k$为奇数。因此，考虑以下两种分解方式：

$$\begin{aligned} i+j-2&=k, &j-i+1&=2^n\\ i&=\frac{k+3}{2}-2^{n-1}, &j&=\frac{k+1}{2}+2^{n-1} \end{aligned}$$

或

$$\begin{aligned} i+j-2&=2^n, &j-i+1&=k\\ i&=\frac{3-k}{2}+2^{n-1}, &j&=\frac{k+1}{2}+2^{n-1} \end{aligned}$$

这里已经讨论过 $2^n$型数。对于非 $2^n$型的正偶数，必有 $k\ge3$。下面讨论哪种分解合适。注意，$n$为正整数。

若 $2^{n-1}<\dfrac{k+3}{2}$，则

$$i=\frac{k+3}{2}-2^{n-1}>0,\quad j-i=2^n-1\ge1$$

因此，第一种分解符合条件。

若 $2^{n-1}\ge\dfrac{k+3}{2}$，则第一种分解不符合条件。此时，第二种分解满足

$$i=\frac{3-k}{2}+2^{n-1}\ge3,\quad j-i=k-1\ge2$$

所以，第二种分解符合条件。

综上，对于 $2^n$型数，仅有 $2$可以表示；对于非 $2^n$型的正偶数，均可以表示。

现在考虑 $b_m\le2020$，即统计 $2,4,6,\ldots,2020$中有多少个数可以表示。

这 $1010$个偶数中，恰有 $4,8,16,\ldots,1024$这 $9$个数无法表示。

故答案为 $m=1010-9=1001$。

补充：紧凑解答

（1） 六个连续区间对应的和为 $3,6,10,5,9,7$，故

$$T=\{3,5,6,7,9,10\}。$$

（2）

$$S(i,j)=2(i+i+1+\cdots+j)=(i+j)(j-i+1)。$$

两因子之和为 $2j+1$，故一奇一偶。若乘积为 $1024$，奇因子只能是 $1$；但 $i+j\ge3$且 $j-i+1\ge2$，矛盾。因此不存在这样的 $i,j$。

（3） 令

$$x=i+j-2,\qquad y=j-i+1。$$

由于 $a_n=2n-2=2(n-1)$，

$$\begin{aligned} S(i,j) &=2\sum_{r=i}^{j}(r-1)\\ &=2\cdot\frac{(j-i+1)((i-1)+(j-1))}{2}\\ &=(i+j-2)(j-i+1)=xy。 \end{aligned}$$

又

$$x+y=2j-1,$$

所以 $x,y$一奇一偶。反解得

$$i=\frac{x-y+3}{2},\qquad j=\frac{x+y+1}{2}。$$

因此，给定正整数 $x,y$时，若二者奇偶性不同、$y\ge2$且 $x\ge y-1$，反解出的 $i,j$都是整数，并且

$$i\ge1,\qquad j-i=y-1\ge1；$$

也就是说，这三个条件保证 $1\le i<j$。反过来，由 $1\le i<j$得到的 $x,y$也满足这三个条件。

现在设 $N$是正偶数，唯一写成

$$N=2^r q,\qquad r\ge1,\quad q\text{ 为正奇数}。$$

若 $q=1$，则 $N=2^r$。任何满足 $xy=2^r$且 $x,y$奇偶性不同的正整数因子对，只能是

$$(x,y)=(1,2^r)\quad\text{或}\quad(x,y)=(2^r,1)。$$

第二种取法有 $y=1$，不符合 $y\ge2$。第一种取法还须满足 $x\ge y-1$，即 $1\ge2^r-1$，这仅在 $r=1$时成立。因此 $2$可以表示，而 $4,8,16,\ldots$均不可表示。

若 $q\ge3$，只需为 $N$构造一组可行因子对。分两种情况：

• 若 $q\ge2^r-1$，取 $x=q$、$y=2^r$。此时 $x$为奇数、$y\ge2$为偶数，且由假设有 $x\ge y-1$。
• 若 $q<2^r-1$，取 $x=2^r$、$y=q$。此时 $x$为偶数、$y\ge3$为奇数，且 $x>q+1>y-1$。

两种情形都满足上述可行条件。代入反解式即可得到正整数 $i,j$，使 $S(i,j)=xy=N$。所以 $T$恰为所有正偶数，去掉大于 $2$的 $2$的幂。

不超过 $2020$的正偶数共有 $1010$个；其中不可表示的数为 $2^2,2^3,\ldots,2^{10}$，共 $9$个。因此

$$m=1010-9=1001。$$