海淀区2025年高二下数学期末新定义

给定正整数$n(n\ge 3)$,若数列$A_n:a_1,a_2,...,a_n$同时满足下列两个性质，则称数列$A_n$为$P(n)$数列：

1. $\{a_1,a_2,..,a_n\}=\{1,2,...,n\}$
2. 对任意$i\in\{1,2,...,n-2\}$,总存在$j\in\{i+1,i+2,...,n\}$，使得$|a_j-a_i|=2$.记$P(n)$数列的个数为$b_n$

(1)写出两个$P(3)$数列$A_3$

(2)若$A_n$为$P(n)$数列，求$a_1$的值；

(3)求$\frac{b_{n+1}}{b_n}$的最大值.

(1)容易写出: $$\{1,2,3\},\{1,3,2\},\{3,1,2\},\{3,2,1\}$$(2)由(1)知，不是所有的数都可以作为$a_1$，中间的数(2)会出问题(|x-2|=2,x超出范围).

枚举简单：

n=3,$a_1=1\text{ or }3$

做几个简单的观察:

1. $a\to n+1-a$，不会影响条件1和2
2. $1,2,3,...,n-1,n$为可行的$A_n$,则$n,n-1,n-2,...,1$也是可行的

深挖(1)，猜想如果$a_1\pm 2\in\{1,2,3,...,n\}$，可能推出矛盾.

当$3\le n\le n-2$时:

记$B=\{a_1-2,a_1-4,a_1-6,...,t\}$,其中$t=\begin{cases} 1, & a_1\text{为奇数}\\ 2, & a_1\text{为偶数} \end{cases}$

$C=\{a_1+2,a_1+4,a_1+6,...,s\}$,其中$s=\begin{cases} n, & a_1\text{与n奇偶性相同}\\ n-1, & a_1\text{与n奇偶性不同} \end{cases}$

根据二，$a_1$可以不断生出$B,C$中的项，那么$A_n$的最后两项一定是$B,C$中的数，与$a_1$同奇偶性.

不妨设$a_n,a_{n-1}$为奇数，利用极端原理，考虑$A_n$中最后一个是偶数的项，往后推的时候出现矛盾.

若$a_n,a_{n-1}$为偶数，同理考虑最后一个奇数项，导出矛盾.

综上$a_1=\begin{cases} 1,3,(n=3),\\ 1,2,n-1,n,(n\ge4) \end{cases}$

(2)注意到$|a_j-a_i|=2$,$a_i,a_j$奇偶性相同,所以$A_n$中的奇数列和偶数列“各行其是”.

记$x=\begin{cases} n,n\text{为奇数}\\ n-1,n\text{为偶数} \end{cases}$,$y=\begin{cases} n-1,n\text{为奇数}\\ n,n\text{为偶数} \end{cases}$

根据(2)，$a_{n-1},a_{n}$必为一奇一偶.

考虑奇数列$\{1,3,5,...,x\}$(共$\frac{x+1}{2}$个数)在$A_n$中出现的先后顺序，与(2)同理，首次在$A_n$中出现的一定是1或x

接下来依次出现剩下来数中的最小值或者最大值，共$2^{\frac{x+1}{2}-1}$种先后顺序.

同理，偶数列$\{2,4,6,...,y\}$(共$\frac{y}{2}$个数)在数列中出现的先后顺序共$2^{\frac{y}{2}-1}$中.

然后我们考虑奇数列在$A_n$中的绝对位置：

在$A_n$的最后两项中，恰有一个奇数，其余的奇数在前$n-2$个空位里.

选定奇数列的绝对位置，偶数列的绝对位置便确定了.

又因为刚才确定了奇数列和偶数列的内部相对位置，故根据分步乘法原理： $$b_n=2C_{n-2}^{\frac{x+1}{2}-1}2^{\frac{x+1}{2}-1}2^{\frac{y}{2}-1}=C_{n-2}^{\frac{x-1}{2}}2^\frac{x+y-1}{2}$$根据奇偶性对n分类: $$\begin{cases} b_{2k-1}=C_{2k-3}^{k-1}2^{2k-2},\\ b_{2k}=C_{2k-3}^{k-1}2^{2k-1} \end{cases}$$其中$k=2,3,4,...$

不难算得$\frac{b_{2k}}{b_{2k-1}}=4$$$\frac{b_{2k+1}}{b_{2k}}=4-\frac{2}{k}\lt 4$$故$\frac{b_{n+1}}{b_n}$最大值为4,当且仅当$n=3,5,7,...$时取得.