[2027强基计划]构造函数

从方程结构中发现统一模型

例题 3.1

（香港中文大学·改编）已知

$$\frac{x}{\sin^2 72^\circ+2026} +\frac{y}{\sin^2 72^\circ-2025}=1, \qquad \frac{x}{\sin^2 18^\circ+2026} +\frac{y}{\sin^2 18^\circ-2025}=1,$$

求 $x+y$ 的值。

应当注意到,$2026,-2025$不是本质的,$\sin^2 72^\circ+\sin^2 18^\circ=1$才是重点:

显然$\sin^2 72^\circ,\sin^2 18^\circ$是关于$t$的方程 $$\frac{x}{t+2026}+\frac{y}{t-2025}=1$$ 的两根.

去分母,按$t$的降幂排列: $$t^2+(1-x-y)t-(2025\cdot2026-2025x-2026y)=0$$

所以$\sin^2 72^\circ+\sin^2 18^\circ=(x+y-1)$,得$x+y=2$

例题 3.2

已知 $x,y\in\mathbb R$ 满足

$$\begin{cases} (x-2)^3+2023(x-2)=1,\\ (y-2)^3+2023(y-2)=-1, \end{cases}$$

若对任意的 $t>0$，$t+\dfrac{k}{t}\geqslant x+y$ 恒成立，则实数 $k$ 的最小值为 $\underline{\qquad}$。

注意到同构的形式,令: $$f(x)=x^3+2023x$$

显然$f(x)$为单增的奇函数,$f(x-2)=-f(y-2)=f(2-y)$,必有$x-2=2-y$.

对任意的 $t>0$，$t+\dfrac{k}{t}\geqslant x+y=4$ 恒成立

取$x=2\Longrightarrow k\ge4$,显然由均值不等式知合题意.s

例题 3.3

已知实数 $a,b$ 满足等式

$$a^3-3a^2+5a-4=0,\qquad b^3-3b^2+5b-2=0,$$

则 $a+b$ 的值为 $\underline{\qquad}$。

有3.2前车之鉴,考虑构造递增的奇函数:

$$\begin{gathered} a^3-3a^2+5a-4=(a-1)^3+2(a-1)-1=0,\\ b^3-3b^2+5b-2=(b-1)^3+2(b-1)+1=0\\ f(x)=x^3+2x,f(a-1)=-f(b-1)=f(1-b) \end{gathered}$$

故$a-1=1-b,a+b=2$

例题 3.4

（2017·清华自主招生暨领军计划）设 $x,y$ 满足

$$(3x+y)^5+x^5+4x+y=0,$$

则点 $(x,y)$ 的轨迹方程为 $\underline{\qquad}$。

移项得:$(3x+y)^5+(3x+y)=-(x^5+x)$

构造的函数为$f(x)=x^5+x,f(3x+y)=-f(x)=f(-x)$,于是$3x+y=-x,y=-4x$

例题 3.5

解方程

$$\sqrt{13-\sqrt{13+x}}=x.$$

容易发现,左式关于$x$单减,右式关于$x$单增,且$x=3$是唯一可行的根.

更有技巧一些的方法是换元$y=\sqrt{13+x}$,则: $$\begin{cases} \sqrt{13-y}=x,\\ \sqrt{13+x}=y \end{cases}$$

$$\begin{cases} x^2+y=13,\\ y^2-x=13 \end{cases}$$

两式相减得:

$$\begin{gathered} x^2-y^2+(x+y)=0\\ (x+y)[(x-y)+1]=0\\ x+y=0\text{ or }x=y-1 \end{gathered}$$

$\sqrt{13-\sqrt{13+x}}=x\ge0,\sqrt{13+x}=y\ge\sqrt{13}$,所以$x+y=0$不可达.

$$\begin{gathered} x^2+(x+1)=13\\ x^2+x-12=0\\ x=3\text{ or }-4(\text{discarded}) \end{gathered}$$

例题 3.6

已知

$$\log_{\sqrt 7}(5a-3)=\log_{\sqrt{a^2+1}}5,$$

则实数 $a=\underline{\qquad}$。

换底,让常数与变量分离: $$\begin{gathered} \frac{\ln(5a-3)}{\ln\sqrt{7}}=\frac{\ln5}{\ln\sqrt{a^2+1}}\\ \ln(5a-3)\ln\sqrt{a^2+1}=\ln5\ln\sqrt{7}\\ \ln(5a-3)\ln(a^2+1)=\ln5\ln7 \end{gathered}$$

注意到左式关于$a$递增,且$a=2$可行,故$a=2$是唯一解.

指数、对数方程的同构

例题 3.7

设 $a,b$ 分别是方程

$$\log_2x+x-5=0$$

和

$$2^x+x-5=0$$

的根，求 $a+b$ 的值。

使用数形结合: $$\begin{gathered} f(x)=\log_2x,g(x)=2^x,y=5-x \end{gathered}$$

显然$f(x),g(x)$互为反函数,关于$y=x$对称,故其二者与对称轴一条垂线$y=5-x$的两交点中点也在$y=x$上,于是有:

$$\begin{gathered} \frac{a+b}{2}=\frac{5}{2},\\ \frac{f(a)+f(b)}{2}=\frac{5}{2} \end{gathered}$$

所以$a+b=5$.

或者考虑指对同构: $$\begin{gathered} f(x)=2^x+x\\ f(b)=5,f(\log_2 a)=5\\ \Longrightarrow b=\log_2 a\\ \log_2a+a-5=0\\ a+b-5=0 \end{gathered}$$

例题 3.8

若实数 $x,y$ 满足

$$2^x+4x+12=\log_2(y-1)^3+3y+12=0,$$

则 $x+y=\underline{\qquad}$。

故技重施:$\begin{cases} 2^{x-2}+(x-2)+5=0,\\ \log_2(y-1)+(y-1)+5=0 \end{cases}$ 同理$x-2+(y-1)=-5,x+y=-2$

例题 3.9

（2017·北大自主招生）方程

$$\log_4(2^x+3^x)=\log_3(4^x-2^x)$$

的实根个数为（　　）

A. $0$

B. $1$

C. $3$

D. 前三个答案都不对

先观察$x$的范围:$4^x-2^x=2^x(2^x-1)\gt0,x\gt0$.

设中间量$t$.

$$\begin{array} { r l } { \log _ { 4 } ( 2 ^ { x } + 3 ^ { x } ) = t = \log _ { 3 } ( 4 ^ { x } - 2 ^ { x } ) } \\ { \left\{ \begin{array} { l l } { 2 ^ { x } + 3 ^ { x } = 4 ^ { t } } \\ { 2 ^ { x } + 3 ^ { t } = 4 ^ { x } } \end{array} \right. } \\ { \therefore 3 ^ { x } - 3 ^ { t } = 4 ^ { t } - 4 ^ { x } } \\ { \therefore 3 ^ { x } + 4 ^ { x } = 3 ^ { t } + 4 ^ { t } } \\ { \therefore f ( x ) = 3 ^ { x } + 4 ^ { x } \uparrow } \\ { \therefore 2 ^ { x } + 3 ^ { x } = 4 ^ { x } \Rightarrow ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { x } + ( \frac { 3 } { 4 } ) ^ { x } = 1 } \\ { g ( x ) = ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { x } + ( \frac { 3 } { 4 } ) ^ { x } \downarrow } \\ { g ( 2 ) = 2 \quad g ( \infty ) < 1 } \end{array}$$

所以$g(x)=1$有唯一解，对应方程的唯一解.

例题 3.10

解方程

$$\log_{14}\left(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}\right) =\log_2\sqrt[6]{x}.$$

设中间量$t$.

$$\begin{gathered} \log_{14}\left(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}\right) =\log_2\sqrt[6]{x}=t\\ \sqrt[6]x=2^t,\\ \sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}=14^t\\ 8^t+4^t+2^t=14^t\\ (\frac{4}{7})^t+(\frac{2}{7})^t+(\frac{1}{7})^t=1 \end{gathered}$$

只能有$t=1,\sqrt[6]{x}=2,x=64$

例题 3.11

已知

$$4^{\log_6x}+x=9^{\log_6x}, \qquad 6^{\log_4y}+y=9^{\log_4y},$$

则 $\dfrac{y}{x}=\underline{\qquad}$。

试着双换元:$\log_6x=m,\log_4y=n$,则:

$$\begin{gathered} x=6^m,y=4^n\\ 4^m+6^m=9^m\\ 6^n+4^n=9^n \end{gathered}$$

容易知道$m,n$唯一确定且$m=n=t$,其中$(\frac{4}{9})^t+(\frac{2}{3})^t=1$.

$$\begin{gathered} \frac{y}{x}=(\frac{2}{3})^t\\ (\frac{y}{x})^2+(\frac{y}{x})-1=0\\ \frac{y}{x}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \end{gathered}$$

嵌套函数

例题 3.12

已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb R$ 上的严格单调函数，满足

$$f\left[f(x)-e^x\right]=1,$$

且 $f(a)<f(b)<e$。若

$$\log_a b+\log_b a=\frac{10}{3},$$

则 $a$ 与 $b$ 的关系是（　　）

A. $a=b^3$

B. $b=a^3$

C. $b=a^4$

D. $a=b^4$

对于"单调函数"这个条件,常见的处理方法是:

$$\begin{gathered} f(t)=1,t=f(x)-e^x\\ f(x)=e^x+t,f(t)=e^t+t=1\\ \Longrightarrow t=0\\ f(x)=e^x\\ f(a)<f(b)<e\\ \Longleftrightarrow e^a\lt e^b\lt e^1\\ a\lt b\lt1 \end{gathered}$$

自此,$f(x)$条件已利用完毕. $$\begin{gathered} \log_a b+\log_b a=\frac{10}{3}\\ \log_a b+\frac{1}{\log_a b}=\frac{10}{3}(\log_a b\lt1)\\ \log_a b=\frac{1}{3},b=a^\frac{1}{3},a=b^3 \end{gathered}$$

例题 3.13

已知在定义域内单调的函数 $f(x)$ 满足

$$f\left(f(x)+\frac{1}{2^x+1}-\ln x\right)=\frac{2}{3}$$

恒成立。解不等式

$$f(7+2x)>-\frac{2^x}{2^x+1}+\ln(-x)+1.$$

模仿3.12,设$f(x)+\frac{1}{2^x+1}-\ln x=t$

$$\begin{gathered} f(x)=\ln x-\frac{1}{2^x+1}+t\\ f(t)=\ln t-\frac{1}{2^t+1}+t=\frac{2}{3}\Longleftrightarrow t=1\\ f(x)=\ln x-\frac{1}{2^x+1}+1\\ f(7+2x)>-\frac{2^x}{2^x+1}+\ln(-x)+1=f(-x)\\ 7+2x\gt-x,x\gt-\frac{7}{3} \end{gathered}$$

当然,不要忘记定义域的约束$-x\gt0,7+2x\gt0$,综合考虑得$x\in(-\frac{7}{3},0)$