高考数学小题荟萃(I)

2026 天津卷

T8 数列

已知$S_{2n}-S_n=n,a_3=6$,则$a_7+a_8=$( ).

A. 68

B. 56

C. -3

D. -4

第一难关: 数列是否有通项?

初步打量，$S_{2n}-S_n=n$是一个很松的条件。靠前的项似乎可以自由调整，因为向后的项有无限个，可以由$S_{2n}=S_n+n$控制.

于是，我们的目标转为，对$n$进行恰当赋值，凑出$a_7+a_8$:

$$S_8-S_4=4\\ a_8+a_7+a_6+a_5=4\\ a_6+a_5=S_6-S_4\\ S_6-S_3=3\\ S_3-S_2=a_3=6\\ S_4-S_2=2$$

综合上述条件:

$$S_6-S_4\\ =(S_6-S_3)+(S_3-S_2)-(S_4-S_2)=3+6-2=7\\ a_8+a_7=4-(S_6-S_4)=-3$$

正确答案:C

解决问题前，明确问题边界很重要：什么可以解决，什么无法解决

2026 全国I卷

T6 不等式最值

已知函数$f(x)=\frac{x+2}{e^x+a}$的最大值为1,则$a=$( ).

A. $\frac12$

B. $1$

C. $\frac32$

D. $2$

第一反应:切线不等式$e^x\ge x+1$

$$f(x)=\frac{x+2}{e^x+a}\\ \le \frac{x+2}{x+(a+1)}=1\\ \text{let }a=1$$

固然可以快捷得出正确答案,但存在不严谨之处:

• $x+2\lt0$时，不等式方向方向相反
• $a=-1$时，函数定义域要求$x\ne0$,切线不等式无法取等
• 如何说明$a\ne1$时，最大值不为1

于是，fallback到常规解法:

$$f'(x)=\frac{(e^x+a)-e^x(x+2)}{(e^x+a)^2}$$

函数$f(x)$的最大值点必然出现在导函数的零点或边界，这里显然不可能是边界:

$$\text{let }f'(x_0)=0\\ e^{x_0}(x_0+1)=a\\ f(x_0)=\frac{x_0+2}{e^{x_0}(x_0+2)}=e^{-x_0}=1\\ x_0=0,a=1$$

检验$a=1$符合条件的方法，与第一反应相同.

切线放缩补丁:

$a\lt 0,x\to -\infty,f(x)\to +\infty$,不符合条件.

$a\ge0,f(x)=\frac{x+2}{e^x+a}\le1$,即$e^x\ge x+(2-a)$，且等号可以成立，必然有$2-a=1$.

T7 等差数列

一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩。该塔群共有 $108$座塔，依山势自上而下排列成 $12$行。将第 $i$行中塔的座数记为 $a_i$（$i=1,2,\ldots,12$），其中 $a_1=1$，$a_2=a_3=3$，$a_4=a_5=5$，且 $a_6,a_7,\ldots,a_{12}$是一个首项为 $7$、公差为 $2$的等差数列。将 $a_1,a_2,\ldots,a_{12}$分为 $6$组，每组 $2$个数，使得每组的 $2$个数之和可构成一个项数为 $6$、公差为 $d$（$d>0$）的等差数列，则 $d=$（ ）。

A. $2$

B. $4$

C. $6$

D. $8$

$$a_n:1,3,3,5,5,7,9,11,13,15,17,19$$

注意观察，$\{a_n\}$中的数都是奇数，因此任意两数之和都是偶数。六个组的和构成等差数列，所以$d$是正偶数。

设六组中各组两数之和从小到大排列为$b_1,b_2,\ldots,b_6$，则

$$4\le b_1<b_6\le36,$$

其中，$b_1\ge1+3=4$，而$b_6\le17+19=36$。因此

$$5d=b_6-b_1\le36-4=32,$$

从而$d\le\frac{32}{5}<8$。结合$d$是正偶数，得$d\in\{2,4,6\}$。

再利用六组数的总和为$108$：

$$b_1+b_2+\cdots+b_6=6b_1+15d=108,$$

故$b_1=18-\frac52d$。逐一检查：

• 若$d=2$，则$b_1=13$，这与每组两数之和都是偶数矛盾；
• 若$d=6$，则$b_1=3$，这与$b_1\ge4$矛盾；
• 因此只能$d=4$，此时$b_1=8$。

下面给出$d=4$时的一种分组：

$$3+5,\quad1+11,\quad3+13,\quad5+15,\quad7+17,\quad9+19.$$

六组的和依次为$8,12,16,20,24,28$，恰好构成首项为$8$、公差为$4$的等差数列；原数列中的十二个数也都恰好使用一次。

面对庞然大物，既可“管中窥豹”，观察部分，探其奇偶

又可“曹冲称象”，算其整体，建立等量

T14 等比数列

设实数$q$满足：存在数列$\{a_n\}$,使得对于任意$n\in\N^*$，均有$a_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n$,且$\{a_n\}$中有某连续9项$a_k,a_{k+1},\cdots,a_{k+8}$是公比为$q$的等比数列，则$q$的最大值为__.

有2026天津卷T8数列为鉴，无法求出$a_n$通项公式，但是我们可以以三项为单位分析:

$$b_n=a_{3n-2}+a_{3n-1}+a_{3n}\\ b_1+b_2+\cdots+b_n=n^2+n$$

由等差数列结论，$b_n=2n$.

而在连续9项$a_k,a_{k+1},\cdots,a_{k+8}$中，必然包含$a_{3n-2},a_{3n-1},a_{3n},a_{3n+1},a_{3n+2},a_{3n+3}$.

这一点，可以对k模3的余数进行分类讨论得到.

那么一定有:

$$q^3=\frac{b_{n+1}}{b_n}(n=1,2,3,\cdots)\\ =\frac{n+1}{n}\le\frac{3}{2}\\ q\le(\frac32)^\frac13(k=1)$$

2025 上海卷

T8 不等式

设$a,b\gt0,a+\frac1b=1$,则$b+\frac1a$的最小值为_?

第一反应是:$a+\frac1a+b+\frac1b\ge 2+2(a=b=1)$，但取等条件与$a+\frac1b=1$矛盾.

第二反应:

消元，保留一个变量

$$a=1-\frac1b\gt0\\ b\in(1,+\infty)\\ b+\frac1a=b+\frac{1}{1-\frac1b}\\ =b+\frac{b}{b-1}\\ =b+1+\frac{1}{b-1}\\ =b-1+\frac{1}{b-1}+2\\ \ge 2+2=4(b=2,a=\frac12)$$

先寻找稳妥的方案，而不是最快速的方案.

消元亦有先后,探索不同方案:

$$b=\frac{1}{1-a}\gt0\\ a\in(0,1)\\ b+\frac1a=\frac{1}{1-a}+\frac1a\\ \ge\frac{(1+1)^2}{(1-a)+a}=4(a=\frac12,b=2)$$

T10 复数

已知复数$z$满足$z^2=(\overline{z})^2,|z|\le1$,则$|z-2-3i|$的最小值是_?

设$z=a+bi$,则:

$$(a+bi)^2=(a-bi)^2\\ (a^2-b^2)+2abi=(a^2-b^2)-2abi\\ \Longleftrightarrow ab=0$$

当$a=0,|z|=|b|\in[0,1],b\in[-1,+1]$.

$$|z-2-3i|\\ \ge |-2-2i|=2\sqrt2$$

当$b=0,|z|=|a|\in[0,1],a\in[-1,+1]$.

$$|z-2-3i|\\ \ge |-1-3i|=\sqrt{10}$$

比较大小:$\sqrt{10}\gt \sqrt{8}=2\sqrt2$

因此，最小值为$2\sqrt2$.

寻找题目最薄弱的地方(等式条件) 如果先考虑$|z|\le1$,可能误用复数的三角形式.

14 指数函数基本性质

设 $a>0$，$s\in\mathbb{R}$。下列各项中，能推出 $a^s>a$的一项是（ ）。

A. $a>1$，且 $s>0$

B. $a>1$，且 $s<0$

C. $0<a<1$，且 $s>0$

D. $0<a<1$，且 $s<0$

$$a^s\gt a^1\\ \Longleftrightarrow a\gt1,s\gt1\\ \text{or } 0\lt a\lt 1,s\lt 1$$

正确答案:D

与其带入选项一一检验，不如先得到与选项形式相似的等价条件.

16 数列与解三角形

已知数列$\{a_n\},\{b_n\}$满足$a_n=10n-9,b_n=2^n$. 设$c_n=\lambda a_n+(1-\lambda)b_n$. 若对任意$\lambda\in[0,1]$,长为$a_n,b_n,c_n$的线段均能构成三角形，则满足条件的$n$有( ).

A. 1个

B. 3个

C. 4个

D. 无数个

显然有$\max\{a_n,b_n\}\ge c_n\ge \min\{a_n,b_n\}$

考虑三条线段能构成三角形的充要条件：

$$\quad a_n+b_n>c_n\gt0,\quad a_n+c_n>b_n\gt0,\quad b_n+c_n>a_n\gt0$$

因为有$a_n,b_n\gt0$,必然$a_n+b_n>c_n\gt0$

$$\quad a_n+c_n>b_n,\quad b_n+c_n>a_n\\ \Longleftrightarrow 2\min\{a_n,b_n\}\gt \max\{a_n,b_n\}\\ \Longleftrightarrow \frac{a_n}{b_n}\in(\frac12,2)$$

列出$a_n,b_n$:

$$a_n:1,11,21,31,41,51,61,71,81\\ b_n:2,4,8,16,32,64,128,256,512$$

初步判断$n\in\{4,5,6\}$，小题可以到此为止，正确答案:B

接下来求解不等式:

令

$$T_n=\frac{10n-9}{2^n}.$$

当 $n\ge2$时，

$$\frac{T_{n+1}}{T_n} =\frac{10n+1}{2(10n-9)}<1,$$

所以 $T_n$从 $n=2$起严格递减。

逐项检查边界：

$$T_3=\frac{21}{8}>2,\qquad \frac12<T_4=\frac{31}{16}<2,$$

以及

$$\frac12<T_6=\frac{51}{64},\qquad T_7=\frac{61}{128}<\frac12.$$

由严格递减性，满足不等式的正整数恰为

$$\boxed{n\in\{4,5,6\}}。$$

2025 天津卷

T6 数列

已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=-n^2+8n$,则$\{|a_n|\}$的前$12$项和为( ).

A. 48

B. 112

C. 80

D. 144

由于$S_n$是无常数项的二次函数，$a_n$为等差数列.

$$a_n=S_n-S_{n-1}=-[2n-1]+8=9-2n$$

那么，讨论$a_n$的符号:

$$n\le 4,a_n\gt0\\ n\ge 5,a_n\lt0$$

绝对值求和:

$$T_{12}\\ =a_1+a_2+a_3+a_4-(a_5+a_6+\cdots+a_{12})\\ =S_4-[S_{12}-S_4]\\ =2S_4-S_{12}$$

分别计算:

$$S_4=-16+32=+16\\ S_{12}=-144+96=-48\\ T_{12}=2\cdot16-(-48)=80$$

选C.

快速准确运用已知结论减少check，并且适当利用题目条件以增加效率:

• 利用前n项和公式，而不是重新计算等差数列求和

• 分拆任务为子任务

T15 含参不等式恒成立

若$a,b\in\R,\forall x\in[-2,2]$,均有$(2a+b)x^2+bx-a-1\le0$恒成立，则$2a+b$的最小值为__.

第一想法:先利用必要条件，构建关于$a,b$的不等式，然后待定系数线性组合为$2a+b$: $$x=-2,7a+2b\le1\\ x=+2,7a+6b\le1\\ 2a+b=\frac{1}{28}[5(7a+2b)+3(7a+6b)]\le \frac27$$很遗憾，求出了$2a+b$的最大值.

第二想法:更换策略，待定自变量$x$:

$$(2x^2-1)a+(x^2+x)b\le1\\ 2x^2-1\lt0,\frac{2x^2-1}{2}=\frac{x^2+x}{1}\\ x=-\frac12\\ -\frac12a-\frac14b\le1\\ 2a+b\ge-4$$

初步判断，等号可以成立: 取等条件只有$2a+b=-4$一个约束，而不是像第一解法一样锁定了$a=\frac17,b=0$.

寻找等号成立的充分条件:

$$\text{let }\Delta=b^2+4(a+1)(2a+b)\\ =(2a+4)^2-16(a+1)=4a^2\le0\\ a=0,b=-4$$

综上，最小值为$-4$

更加一般地，我们讨论$2a+b=-4$时，哪些$(a,b)$满足条件:

$$f(x)=(2a+b)x^2+bx-a-1\\ =-4x^2+(-2a-4)x-a-1\\ =-[2x+(a+1)][2x+1]$$

倘若$a\ne0,x\in(\min\{-\frac{a+1}{2},-\frac12\},\max\{-\frac{a+1}{2},-\frac12\}),f(x)\gt0$,不符合条件.

因此，只能有$a=0,b=-4$.

Reflection:

此题$x\in[-2,+2]$的条件是多余的，势必导致第一想法的出现.

如果提前想好不等式方向，便可以快速排除第一想法，进入第二想法